Алгебра 2015/2016 ПИ


Преподаватели

Группа 1 2 3 4 5
Лектор Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович Чернышев Всеволод Леонидович
Семинарист Гайфуллин Сергей Александрович Чернышев Всеволод Леонидович Пионтковский Дмитрий Игоревич Чернышев Всеволод Леонидович Петрущенко Всеволод Владимирович

Расписание занятий (Внимание! Курс уже завершен!)

Лекция - Пятница, 12:10-13:30 , аудитория 622.

Группа ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ
151 13:40-15:00 (Каб 300)
152 13:40-15:00 (Каб 219)
153 15:10-16:30 (Каб 300)
154 13:40-15:00 (Каб 402)
155 12:10-13:30 (Каб 400)

Консультации

Расписание консультаций (ассистенты и возможное время)

Все консультации проводятся в аудитории 304.
Ассистенты ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ
Павел-Никита 9:00 - 10:20 (Каб 435)
Ирина 9:00-10:30 (Каб 402)
Александра 15:10-16:30 (Каб 435)
Екатерина 15-10-16:30 (Каб 435)

Для посещения консультации нужно: 1) записаться и 2) отправить свой вопрос.

Расписание консультаций (ссылка на таблицу с записью на консультацию)

Запись на консультацию

Задайте свой вопрос для обсуждения на консультации

Форма для отправки вопроса или темы для обсуждения


Краткое содержание уже прочитанных лекций

Лекция (4.09.2015). Системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных уравнений 2-го и 3-го порядков. Определители 2-го и 3-го порядков. Полное исследование системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Способы вычисления определителей третьего порядка.

Лекция (11.09.2015). Операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование и умножение. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Некоммутативность умножения матриц. Единичная матрица. Симметрические матрицы.

Лекция (18.09.2015). Ступенчатый вид матрицы и канонический вид матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о методе Гаусса. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Свободные переменные.

Лекция (25.09.2015). Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Общая формула для определителя произвольного порядка. Свойства определителя, в частности: разложение определителя по строке (столбцу) и фальшивое разложение, вычисление определителя верхнетреугольной матрицы. Утверждение о том, что любая функция от столбцов матрицы является определителем, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице, для случая квадратной матрицы 2-го порядка. Определитель произведения двух квадратных матриц. Способы вычисления определителей.

Лекция (02.10.2015). Формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Союзная матрица. Обратная матрица. Критерий существования и формула для нахождения обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения AX = B, XA = B. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов).

Лекция (09.10.2015). Критерий линейной зависимости. Свойства ранга. Теорема о базисном миноре и её следствия (теорема о ранге матрицы и критерий невырожденности квадратной матрицы). Вычисление ранга матрицы: элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров. Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений.

Лекция (16.10.2015). Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Теорема о существовании ФСР. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Лекция (23.10.2015). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Векторы в трехмерном пространстве, линейные операции над ними и их свойства. Скалярное произведение векторов в трехмерном пространстве и его алгебраические свойства. Выражение ортогональной проекции одного вектора на направление другого.

Лекция (06.11.2015) Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Правый и левый базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора и угла между векторами. Направляющие косинусы. Векторное произведение векторов, его свойства. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов.

Лекция (13.11.2015) Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка.
Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение 1-го порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Лекция (20.11.2015) Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Вычислений расстояний: от точки до прямой и между двумя прямыми.

Лекция (27.11.2015) Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Сложение, умножение комплексных чисел и их свойства. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Формула Эйлера.

Лекция (04.12.2015) Формулы Виета. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Сюръективные, инъективные, биективные отображения. Композиция отображений. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Разбиение множества на классы эквивалентности. Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные операции. Магма и полугруппа. Примеры.

Лекция (11.12.2015) Моноид. Обратимые элементы. Группа. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Циклическая группа. Порядок элемента. Связь порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Таблица Кэли. Изоморфизм групп. Свойства изоморфизма. Теорема о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Теорема Кэли. Гомоморфизм. Ядро гомоморфизма. Примеры групп: группа кватернионов, группа диэдра, знакопеременная группа. Транспозиции. Левый смежный класс по некоторой подгруппе.

Лекция (18.12.2015) Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Подкольцо. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов.

Лекция (15.01.2016) Коммутативное кольцо. Делители нуля и обратимые элементы. Целостное кольцо. Кольцо многочленов от одной переменной. Подкольцо, порожденное множеством. Гомоморфизм колец. Поле. Подполе. Простое поле. Характеристика поля. Расширение поля. Расширение поля, полученное с помощью присоединения элемента. Евклидово кольцо. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя.

Лекция (22.01.2016) Факториальность колец. Прямое произведение групп. Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец, пример. Поле частных. Линейное (векторное) пространство: аксиомы, их простейшие следствия. Примеры.

Лекция (29.01.2016) Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Подпространства в линейном пространстве. Линейная оболочка конечного набора векторов и ее размерность. Изоморфизм линейных пространств. Теорема о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат.

Лекция (05.02.2016) Сумма и прямая сумма подпространств. Пересечение подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Линейные отображения и преобразования (операторы) линейных пространств. Матрица линейного оператора. Теорема о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о формуле для матрицы оператора при замене базиса. Действия над линейными отображениями.

Лекция (12.02.2016) Ядро и образ (множество значений) линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Собственное подпространство. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Инвариантность характеристического многочлена. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем). Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения и неравенство, их связывающее (без доказательства). След матрицы. Утверждение о том, что след матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Лекция (19.02.2016) Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду путем перехода к базису из собственных векторов, условия диагонализируемости. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы оператора. Евклидово пространство. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базисы.

Лекция (26.02.2016) Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве. Матрица Грама и 5 её свойств: 1) критерий невырожденности, 2) симметричность и положительная определенность, 3) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису, 4) положительность определителя, 5) инвариантность определителя матрицы Грама относительно процесса ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая.

Лекция (04.03.2016) Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Расстояние и угол между вектором и подпространством. Формула для расстояния через определители матриц Грама. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора.

Лекция (11.03.2016) Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов. Доказательство этой теоремы в случае различных вещественных собственных значений. Ортогональные матрицы и их свойства. Ортогональные операторы. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и обратное верно. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Теорема о том, что для любой симметрической матрицы M найдется ортогональная матрица U, такая что U^{T}MU=D, где D является диагональной.

Лекция (18.03.2016) Квадратичные формы. Формула для преобразования квадратичной формы при замене базиса. Теорема об инвариантности ранга. Положительно (отрицательная) определенность квадратичной формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Приведение квадратичных форм к диагональному виду (к главным осям) при помощи ортогональной замены координат.

Лекция (25.03.2016) Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.


По всем организационным вопросам обращайтесь по адресу: moc.spuorgelgoog|iParbegla#moc.spuorgelgoog|iParbegla.


Пока не указано иное, содержимое этой страницы распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License